已知0<a<1,f(a^x)=x+x^-1.

f（x）在[a^-1,+∞]上单调递减
注：以a为底，x的对数简记为log(a,x)
解：
判断单调性：

f(a^x)=x+x^-1
令a^x=t>0,x=log(a,t)
f(t)=log(a,t)+1/log(a,t) (t>0)

将t换成x得 f(x)=log(a,x)+1/log(a,x) (x>0)
0<a<1 ,令λ=log(a,x),f(x)=g(λ)=λ+1/λ
λ=log(a,x),在x>0上单调递减
由题设x在（a^-1,+∞)内
f(x)=log(a,x)+1/log(a,x) （x>a^-1）
0<a<1 a^-1>1 log(a,a^-1)=-1
λ=log(a,x) 画图，并根据对数函数单调性得：λ<-1

g(λ)=λ+1/λ 令λ=1/λ 得λ=1或-1
λ<-1得到原函数的一个拐点为λ=-1
画图根据耐克函数，得g(λ) 在λ<-1 上单调递增

内层函数λ=log(a,x),在x>0上单调递减，外层函数g(λ) 在λ<-1 上单调递增。又，复合函数同增异减得，原函数在定义域上单调递减。

证明：
x>a^-1
设x2>x1>a^-1>1
f(x2)-f(x1)=log(a,x2)+1/log(a,x2)-log(a,x1)-1/log(a,x1)
=log(a,x2/x1)+(log(a,x1)-log(a,x2))/(log(a,x2)*log(a,x1))
=log(a,x2/x1)-log(a,x2/x1)/(log(a,x2)*log(a,x1))
=log(a,x2/x1)*(1-1/(log(a,x2)*log(a,x1)))

前者：x2/x1>1 log(a,x2/x1)<0
log(a,x2)<-1 log(a,x1)<-1
log(a,x